2023考研大纲：湘潭大学2023年招收攻读硕士学位研究生《数学分析》考试大纲

考试大纲

 

重点考核学生对数学分析的基本概念、基本理论、基本方法和基本技巧的掌握与运用能力。考查的知识要点如下：

 

1．集合与映射：集合与映射的概念及运算，一元函数的概念，初等函数，复合函数，函数的分段表示，隐式表示，参数表示，函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性，三角不等式与均值不等式。

 

2．数列的极限：实数系，最大数与最小数，上确界与下确界的概念，实数系的连续性，数列极限的定义,数列极限的性质，数列极限的四则运算法则，无穷小量与无穷大量的概念，Stolz定理,单调有界数列必有极限，闭区间套定理，Bolzano-Weierstrass定理，Cauchy收敛原理。

 

3．函数极限与连续函数：函数极限的概念、性质和四则运算法则，函数极限与数列极限的关系，单侧极限，函数极限定义的扩充，连续的概念，连续函数的四则运算法则，不连续点的类型，反函数的连续性，复合函数的连续性，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性定理，最值定理，介值定理，零点存在定理，一致连续概念，Cantor定理.）。

 

4．导数：导数的概念，几何意义，基本初等函数的求导公式，求导的四则运算法则，反函数的导数，复合函数的导数，用参数方程表示的函数的求导法，可导与连续的关系，微分的概念及四则运算法则，复合函数的微分，一阶微分形式的不变性，高阶导数、高阶微分的概念，高阶导数的运算法则，一些简单函数的高阶导数、高阶微分。

 

5．微分中值定理及应用：罗尔定理、Lagrange中值定理，Cauchy中值定理，L’Hospital法则，Taylor公式，一元函数单调性的概念及判别，极值的概念及求法，函数的最值的求法，函数图形的凹凸性和拐点，渐近线的概念及求法，函数图形的描绘。

 

6．不定积分：不定积分的概念，不定积分的基本公式及运算法则，换元法，分部积分法，有理函数的积分，三角函数有理分式的积分。

 

7．定积分：定积分的概念，Darboux大和与Darboux小和的概念，Riemann可积的充分必要条件，可积函数类（连续函数，只有有限个间断点的函数，单调有界函数），定积分的基本性质，积分第一中值定理，基本积分不等式，Newton-Leibniz公式，定积分的换元法与分步积分法，定积分的应用。

 

8．反常积分：反常积分收敛和发散的概念，Cauchy收敛原理，比较判别法，Cauchy判别法，积分第二中值定理，Abel判别法，Dirichlet判别法，Cauchy积分主值的概念及计算。

 

9．数项级数：数项级数的收敛与发散的概念，级数的基本性质，Cauchy收敛准则，正项级数的收敛原理及判别法（比较判别法，Cauchy判别法，D’Alembert判别法，积分判别法），交错级数，Leibniz判别法，绝对收敛与条件收敛概念，Abel变换，Abel判别法，Dirchlet判别法,绝对收敛级数的性质。

 

10.函数项级数:一致收敛的概念及性质（和函数连续性，逐项求导，逐项求积），一致收敛的判别法（Weiezstzass判别法，Abel判别法，Dirichlet判别法），Dini定理），幂级数的收敛半径，幂级数的性质（连续性，逐项求导，逐项求积），函数的幂级数展开，用多项式逼近连续函数。

 

11.欧几里得空间上的极限和连续:欧几里得空间上的距离与极限，开集、闭集、紧集的概念，欧几里得空间上的基本定理，多元函数极限的概念及性质，累次极限，多元连续函数的概念及性质，紧集上连续函数的性质。

 

12.多元函数的微分学：偏导数和全微分的概念，可微与可导、可微与连续的关系，高阶偏导数，高阶全微分的概念及计算，多元复合函数求导的链式法则，一阶微分形式的不变性，中值定理与Taylor公式，隐函数的存在性，反函数的存在性，隐函数的导数，空间曲线的切线与法平面，空间曲面的切平面与法线，多元函数的极值及其求法，条件极值的概念及求法。

 

13.重积分：重积分的概念及性质，二重积分的计算（直角坐标，极坐标及一般的坐标变换）及应用，三重积分的计算（三重积分化为累次积分，直角坐标、柱面坐标、球面坐标及一般换元法），反常重积分收敛与发散的概念及判别。

 

14.曲线积分与曲面积分：第一类曲线积分与第一类曲面积分的概念、性质及计算，第二类曲线积分与第二类曲面积分的概念、性质及计算，Green公式，平面曲线积分与路径无关性，Gauss公式，Stokes公式。

 

15.含参变量的积分：含参变量的常义积分的概念及性质（连续性，积分号下求导，积分次序的交换），含参变量反常积分一致收敛的概念及性质（连续性，积分号下求导数，积分次序的交换），一致收敛判别法，B函数，Г函数，Stirling公式。

 

16.Fourier级数：函数的Fourier级数展开，Fourier级数的收敛判别法，Fourier级数的分析性质与逼近性质。

 

参考书

 

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