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2023考研大纲:西北师范大学数学与统计学院2023年硕士研究生招生考试自命题《泛函分析》科目参考大纲

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硕士研究生招生考试
 
同等学力和跨专业加试
 
泛函分析考试大纲
 
(科目代码:)
 
学院名称(盖章):数学与统计学院
 
学院负责人(签字):
 
编制时间:2022年6月22日
 
泛函分析考试大纲
 
第一章度量空间与线性赋范空间
 
考试要点:
 
度量空间的概念,例子;度量空间中的收敛性与连续性;稠密性;可分性;Cauchy列与度量空间的完备性;压缩映像原理及其应用;线性赋范空间的概念,例子;Banach空间的概念。
 
考试内容:
 
第一节度量空间的概念与例子
 
距离及度量空间的定义;例子(欧氏空间;连续函数空间;数列空间等)。
 
第二节度量空间中的极限稠密性可分空间
 
领域的概念;收敛点列;有界集;具体空间中收敛性的意义;稠密性与可分空间的概念;不可分空间的例子。
 
第三节连续映射
 
映射连续性的各种定义及其等价性。
 
第四节Cauchy点列与完备度量空间
 
度量空间中Cauchy点列的概念;完备度量空间的定义;完备度量空间与不完备度量空间的各类例子;度量空间闭子空间的完备性。
 
第五节度量空间的完备化
 
等距同构;度量空间的完备化定理;
 
第六节压缩映像原理及其应用
 
压缩映像的定义;压缩映像原理;在隐函数定理及常微分方程中的应用。
 
第七节线性空间
 
本节内容为线性空间的基本概念。因学生已在高等代数课程中学过有限维空间的有关内容,故只需简要回顾并强调无限维线性空间的特征即可。
 
第八节线性赋范空间和Banach空间
 
范数,线性赋范空间和Banach空间的概念;依范数收敛;空间;空间;空间;空间;空间;空间;有限维赋范空间的拓扑同构性。
 
考核要求:
 
掌握度量空间,线性赋范空间和Banach空间的概念和性质;掌握映射连续性,度量空间的完备性等概念;熟悉空间,空间,空间,空间,空间,空间;透彻理解压缩映像原理及其简单应用。能独立解答基本的习题。
 
第二章线性有界算子和线性连续泛函
 
考试要点:
 
线性有界算子,线性连续泛函,线性算子空间,共轭空间。
 
考试内容:
 
第一节线性有界算子与线性连续泛函
 
线性有界算子与线性连续泛函的概念,例子,有界与连续的等价性,线性有界算子零空间的性质,算子范数。
 
第二节线性算子空间和共轭空间
 
线性算子空间的结构及其完备性,共轭空间,保距算子,同构映照,同构,一些具体空间的共轭空间。
 
考核要求:
 
掌握线性有界算子,线性连续泛函,有界性,连续性,算子范数,共轭空间,保距算子,同构映照,同构等基本概念;掌握有界与连续的等价性定理,基本定理;能够计算简单的算子范数和一些具体空间的共轭空间。能独立解答基本的习题。
 
第三章内积空间和Hilbert空间
 
考试要点:
 
内积空间,投影定理,Hilbert空间,就范直交系,Hilbert空间上线性连续泛函的表示。
 
考试内容:
 
第一节内积空间的基本概念
 
内积空间与Hilbert空间的定义,平行四边形公式,内积空间的判定。
 
第二节投影定理
 
点到集合的距离,凸集,极小化向量定理,集合的正交,Hilbert空间的正交分解,投影算子及其性质。
 
第三节Hilbert空间中的就范直交系
 
就范直交系,Fourier系数集,Bessel不等式,Parseval恒等式,完全就范直交系的定义与判定,Fourier展式,Gram-Schmidt正交化过程,Hilbert空间的同构。
 
第四节Hilbert空间上的线性连续泛函
 
Riesz表示定理,共轭算子及其性质。
 
第五节自伴算子、酉算子和正常算子
 
自伴算子、酉算子和正常算子的基本概念与简单性质。
 
考核要求:
 
掌握内积空间,Hilbert空间,平行四边形公式,就范直交系,Bessel不等式,Parseval恒等式,Fourier展式,投影算子,共轭算子,自伴算子,酉算子和正常算子等基本概念;掌握极小化向量定理,投影定理,完全就范直交系的判定定理,Riesz表示定理等基本定理的内容与证明;能独立解答基本的习题。
 
第四章Banach空间中的基本定理
 
考试要点:
 
Hahn-Banach延拓定理,Riesz表示定理,线性赋范空间中的共轭算子,
 
第一节泛函延拓定理
 
次线性泛函,Hahn-Banach泛函延拓定理的实形式、复形式及其推论。
 
第二节的共轭空间、Riesz表示定理
 
第三节共轭算子
 
第四节线性赋范空间中共轭算子的定义及性质。
 
第五节纲定理和一致有界性定理
 
第一纲集,第二纲集,Baire纲定理,一致有界性定理强收敛、弱收敛和一致收敛
 
强收敛、弱收敛、弱*收敛和一致收敛的定义,例子,相互关系,强收敛的充要条件。
 
第六节逆算子定理
 
逆算子定理及其证明。
 
第七节闭图象定理
 
线性算子的图象,闭算子,闭图象定理。
 
考核要求:
 
掌握本章涉及到的所有基本概念,基本定理;由于Hahn-Banach延拓定理,Riesz表示定理,Baire纲定理,逆算子定理,闭图象定理是泛函分析基础理论的主要构成部分,要求熟练掌握这些内容;能独立解答基本的习题。
 
第五章线性算子的谱
 
考试要点:
 
简要介绍线性算子的谱的概念,基本性质。
 
谱的概念
 
正则算子,正则点,正则集,谱点,特征值,特征向量,点谱,连续谱,例子。
 
第一节线性有界算子谱的基本性质
 
谱集的闭性。
 
考核要求:
 
了解线性算子的谱的概念,基本性质。
 
三、参考书目
 
1、程其襄等,《实变函数与泛函分析基础》,高等教育出版社,1983,第一版。
 
2、王声望,郑维行,《实变函数与泛函分析概要》,第二册,高等教育出版社,1992,第二版。
 
3、夏道行等,《实变函数论与泛函分析》,下册,高等教育出版社,1985,第二版。
 
原文标题:西北师范大学数学与统计学院2023年硕士研究生招生考试自命题《泛函分析》科目参考大纲

原文链接:https://yjsy.nwnu.edu.cn/2022/0629/c2701a192505/page.htm


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