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实变函数论考试大纲
(科目代码:)
学院名称(盖章):数学与统计学院
学院负责人(签字):
编制时间:2022年6月22日
《实变函数论》考试大纲
一、考核概要
实变函数是数学与应用数学的专业课之一。通过本课程的学习,使学生掌握实变函数的基本理论、基本知识与基本方法,为以后进一步的深入学习其它学科打下坚实的基础。本课程的具体要求有:掌握集合论的基本理论;初步掌握和了解测度论的基本知识;熟练掌握可测函数的基本概念和基本性质,初步掌握lebesgue积分的理论和方法。
本课程的要求:要求学生能熟练地掌握对等和基数的概念,可数集的定义和性质,n维欧氏空间中聚点、内点和界点的定义,开集、闭集、完备集的概念和性质。初步理解和掌握可测集和不可测集的刻化和基本性质。熟练掌握可测函数的性质,几乎处处收敛与依测度收敛的关系和基本的推导方法。初步掌握Lebesgue积分的的性质,能用有关定理极其它与Riemann积分的关系去处理一些简单的问题。
二、考核要点及要求
第一章集合
1、知识点
集合的概念和运算,对等与基数,可数集合,不可数集合,半序集和曹恩引理。
2、考核要求
1)掌握集合交,并、余等运算和上、下极限的定义和基本运算;
2)熟练掌握集合的对等的定义与性质;能熟练应用伯恩斯坦(Bernstein)定理证明集合的对等关系;
3)理解基数的定义;掌握可数集与不可数集的性质,会判断给定的集合是否可数。
第二章点集
1、知识点
度量空间(n维欧氏空间),聚点、内点和界点,开集、闭集、完备集及其构造。
2、考核要求
1)理解和掌握度量空间的定义,邻域的性质,有界点集的定义和n维区间的体积;
2)熟练掌握n维区间点的关系,聚点、内点和界点的定义聚点与等价条件;
3)掌握开核、边界和导集的概念和性质极其相互关系;
4)理解和掌握开集、闭集和完备集的性质;
5)理解开集的构成区间与余区间,了解开集、闭集的构造;熟练掌握康托尔集的构成和性质。
第三章测度论
1、知识点
约当测度,Lebesgue外测度和内测度,可测集。
2、考核要求
1)测度的定义和性质;
2)掌握Lebesgue外测度和内测度的定义和基本性质;
3)练掌握由卡拉皆屋铎利给出可测集的定义及可测集的基本运算性质;
4)掌握零测集的性质;开集、闭集的可测性;
5)约当测度与Lebesgue测度的关系;
6)解特殊的两类集合,波雷耳集。
第四章可测函数
1、知识点
可测函数及其性质,几乎处处收敛,叶果洛夫定理,可测函数的构造,依测度收敛。
2、考核要求
1)熟练掌握可测函数及其四则运算,可测函数与简单函数的关系,几乎处处成立的概念;
2)理解叶果洛夫定理;
3)理解并掌握鲁津定理及其逆定理;
4)熟练掌握依测度收敛的定义,几乎处处收敛与依测度收敛的几个反例,Riese定理和Lebesgue收敛定理。
第五章积分论
1、知识点
Riemann积分,勒贝格积分的定义,勒贝格积分的性质,一般可积函数,积分的极限定理。
2、考核要求
1)了解由确界式定义的Riemann积分,及Riemann积分的缺陷;
2)理解勒贝格积分的定义,掌握可积的两个充要条件;可积的四则运算,勒贝格积分与Riemann积分的关系;
3)熟练掌握勒贝格积分的基本性质和绝对连续性;
4)熟练掌握一般可积函数的L积分的定义和初等性质;
5)牢记勒贝格控制收敛定理,列维定理,L逐项积分定理,积分的可数可加性,Fatou引理及有关积分与求导交换的定理。
三、参考书目
1.《实变函数与泛函分析》,程其襄,张奠宙,胡善文等编,第3版,高等教育出版社,2010.6.
2.《实变函数论》,周民强编著,北京大学出版社,2001.7.