2023考研大纲：西北师范大学数学与统计学院2023年硕士研究生招生考试自命题《微分几何》科目参考大纲

硕士研究生招生考试

 

同等学力和跨专业加试

 

微分几何考试大纲

 

(科目代码：)

 

学院名称(盖章)：数学与统计学院

 

学院负责人(签字)：

 

编制时间：2022年6月22日

 

微分几何考试大纲

 

一、考核要求

 

理解曲线论和曲面中的一些基本概念，准确掌握研究微分几何的常用方法和基本结论。能够以此为基础研究现代微分几何学，能够理论联系实际、分析和解决实际几何问题。

 

二、考核要点

 

第一章考核曲线论的基本概念、基本公式和基本方法；第二章考核正则参数曲面的概念，曲面的第一、二基本形式，曲面的各种曲率、曲面上的各种方向和对应曲线，特殊曲面的几何意义和几何特征；第三章考核等距对应和共形对应的基本概念，测地曲率的计算，测地线方程和基本性质，Gauss-Bonnet公式及重要结论，特殊曲面，理解测地曲率和测地线是内蕴几何概念，了解协变微分。

 

三、考核内容

 

第一章曲线论

 

第一节曲线的概念

 

第二节Frenet标架

 

第三节空间曲线的曲率和挠率

 

第四节曲线轮的基本定理

 

第五节密切曲面

 

第六节特殊曲线

 

说明：掌握曲线的概念，空间曲线的基本三棱形，曲率挠率和Frenet公式。掌握特殊曲线：平面曲线，一般螺线。掌握曲线上一点邻近的结构和空间曲线论的基本定理。

 

第二章曲面论

 

第一节正则曲面的概念

 

第二节曲面的第一基本形式

 

第三节曲面的第二基本形式

 

第四节法曲率与Weingarten变换

 

第五节主曲率、Gauss曲率和平均曲率

 

第六节渐近方向与渐近线、主方向与曲率线

 

第七节特殊曲面

 

第八节曲面论的基本定理

 

说明：掌握正则参数曲面的概念，掌握并能熟练计算曲面的第一基本形式、曲面的第二基本形式、各种曲率，理解曲面上的特殊方向（指渐近方向和主方向）和特殊曲线（指渐近线和曲率线）的几何意义。掌握可展曲面的几何意义和几何特征，懂得Gauss曲率是内蕴量，理解曲面论的基本定理。

 

第三章曲面的内蕴几何

 

第一节等距对应与共形对应

 

第二节测地曲率与测地线

 

第三节Gauss-Bonnet公式

 

第四节协变微分

 

第五节常高斯曲率的曲面

 

说明：理解等距对应的意义。熟练掌握测地曲率的计算，掌握测地线的方程和基本性质。熟记Gauss-Bonnet公式及几个重要推论。了解协变微分是欧氏平面上普通导数概念在曲面上的推广。理解测地曲率和测地线是内蕴几何概念。掌握常高斯曲率曲面。

 

四、参考书目

 

1.陈维桓编著，《微分几何》，北京大学出版社，2006年.

 

2.苏步青，胡和生等，《微分几何》，高等教育出版社，1994年.

 

3.梅向明,黄敬之编,《微分几何》（第四版），高等教育出版社，2008年.