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2021考研大纲:宁波大学数学学院671数学分析2021年硕士研究生自命题科目考试大纲及参考书目

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2021年宁波大学硕士研究生招生考试初试科目
 
考试大纲
 
科目代码、名称: 671数学分析
 
一、考试形式与试卷结构
 
(一)试卷满分值及考试时间
 
本试卷满分为150分,考试时间为180分钟。
 
(二)答题方式
 
答题方式为闭卷、笔试。试卷由试题和答题纸组成;答案必须写在答题纸(由考点提供)相应的位置上。
 
(三)试卷题型结构
 
填空题,选择题,解答题,计算题,证明题,应用题。
 
二、考试科目简介
 
《数学分析》是数学专业最重要的基础课之一,是数学专业的学生继续学习后继课程的基础,它的理论方法和内容既涉及到几百年来分析数学的严谨性和逻辑性,又与现代数学的各个领域有着密切的联系。是从事数学理论及其应用工作的必备知识。本大纲制定的的依据是①根据教育部颁发《数学分析》教学大纲的基本要求。②根据我国一些国优教材所讲到基本内容和知识点。要求考生比较系统地理解数学分析的基本概念基本理论,掌握研究分析领域的基本方法,基本上掌握数学分析的论证方法,具备较熟练的演算技能和初步的应用能力及逻辑推理能力。
 
三、考试内容及具体要求
 
第1章实数集与函数
 
(1)了解实数域及性质
 
(2)掌握几种主要不等式及应用。
 
(3)熟练掌握领域,上确界,下确界,确界原理。
 
(4)牢固掌握函数复合、基本初等涵数、初等函数及某些特性(单调性、周期性、奇偶性、有界性等)。
 
第2章数列极限
 
(1)熟练掌握数列极限的定义。
 
(2)掌握收敛数列的若干性质(惟一性、保序性等)。
 
(3)掌握数列收敛的条件(单调有界原理、迫敛法则、柯西准则等)。
 
第3章函数极限
 
(1)熟练掌握使用“ε-δ”语言,叙述各类型函数极限。
 
(2)掌握函数极限的若干性质。
 
(3)掌握函数极限存在的条件(归结原则,柯西准则,左、右极限、单调有界)。
 
(4)熟练应用两个特殊极限求函数的极限。
 
(5)牢固掌握无穷小(大)的定义、性质、阶的比较。
 
第4章函数连续性
 
(1)熟练掌握在X0点连续的定义及其等价定义。
 
(2)掌握间断点定以及分类。
 
(3)了解在区间上连续的定义,能使用左右极限的方法求极限。
 
(4)掌握在一点连续性质及在区间上连续性质。
 
(5)了解初等函数的连续性。
 
第5章导数与微分
 
(1)熟练掌握导数的定义,几何、物理意义。
 
(2)牢固记住求导法则、求导公式。
 
(3)会求各类的导数(复合、参量、隐函数、幂指函数、高阶导数(莱布尼兹公式))。
 
(4)掌握微分的概念,并会用微分进行近似计算。
 
(5)深刻理解连续、可导、可微之关系。
 
第6章微分中值定理、不定式极限
 
(1)牢固掌握微分中值定理及应用(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)。
 
(2)会用洛比达法则求极限,(掌握如何将其他类型的不定型转化为0/0型)。
 
第1-6章的重点与难点
 
(1)重点:①基本概念:极限、连续、可导、可微。②基本定理:单调有界,柯西准则,归结原则,微分中值定理。③基本计算:求极限的方法与类型。
 
(2)难点:应用微分中值定理,证明问题,连续函数性质应用。
 
第7章导数应用
 
(1)掌握单调与符号的关系,并用它证明f(x)单调,不等式、求单调区间、极值等。
 
(2)利用判定凹凸性及拐点。
 
(3)了解凸函数及性质
 
(4)会求曲线各种类型的渐近线性。
 
(5)了解方程近似解的牛顿切线法。
 
第8章极限与连续(续)
 
(1)掌握下列基本概念:区间套、柯西列、聚点、予列。
 
(2)了解刻划实数完备性的几个定理的等阶性,并掌握各定理的条件与结论。
 
(3)学会用上述定理证明其他问题,如连续函数性质定理等。
 
第9章不定积分
 
(1)掌握原函数与不定积分的概念。
 
(2)记住基本积分公式。
 
(3)熟练掌握换元法、分部积分法。
 
(4)了解有理函数积分步骤,并会求可化为有理函数的积分。
 
第10章定积分
 
(1)掌握定积分定义、性质。
 
(2)了解可积条件,可积类。
 
(3)深刻理解微积分基本定理,并会熟练应用。
 
(4)熟练计算定积分。
 
(5)掌握广义积分收敛定义及判别法,会计算广义积分。
 
第11章定积分应用
 
(1)熟练计算各种平面图形面积。
 
(2)会求旋转体或已知截面面积的体积。
 
(3)会利用定积分求孤长、曲率、旋转体的侧面积。
 
(4)会用微元法求解某些物理问题(压力、变力功、静力矩、重心等)。
 
第12章数项级数
 
(1)掌握数项级数敛散的定义、性质。
 
(2)熟练掌握正项级数的敛、散判别法。
 
(3)掌握条件、绝对收敛及莱布尼兹定理。
 
第7-12章的重点、难点
 
(1)重点:导数的应用,积分法则,微积分基本定理,数项级数敛散判别,广义积分敛散判别。
 
(2)难点:实数完备性定理及应用;定积分的可积性及可积极类的讨论,定积分及数项级数的理论证明,广义积分及数项级数敛散的阿贝尔,狄利克雷判别法。
 
第13章函数列与函数项级数
 
(1)了解函数列与函数项级之间的关系,掌握函数列及函数项级数的一致收敛定义。
 
(2)掌握函数列、函数项级数一致收敛的判别法。
 
(3)函数列的极限函数,函数项级数的和函数性质。
 
第14章幂级数
 
(1)熟练幂级数收敛域,收敛半径,及和函数的求法。
 
(2)了解幂级数的若干性质。
 
(3)了解求一般任意阶可微函数的幂级数展式的方法。特别牢固记住六种基本初等函数的马克劳林展式。
 
(4)会利用间接法求一些初等函数的幂级数展式。
 
第15章付里叶级数
 
(1)熟记付里叶系数公式,并会求之。
 
(2)掌握以2π为周期函数的付里叶展式。
 
(3)理解掌握定义在(0,1)上的函数可以展成余弦级数,正弦级数,一般付里叶级数。
 
(4)了解收敛性定理,并掌握,贝塞尔不等式,勒贝格引理等。
 
第16章多元函数极限与选择
 
(1)了解平面点集的若干概念。
 
(2)掌握二元函数二重极限定义、性质。
 
(3)掌握二次极限,并掌握二重极限与二次极限的关系。
 
(4)掌握二元连续函数的定义、性质。
 
(5)了解二元函数关于两个变量全体连续与分别连续的关系。
 
第17章多元函数微分学
 
(1)熟练掌握,可微,偏导的意义。
 
(2)掌握二元函数可微,偏导,连续以及偏导函数连续,概念之间关系。
 
(3)会计算各种类型的偏导,全微分。
 
(4)会求空间曲面的切平面,法线。空间曲线的法平面与切线。
 
(5)会求函数的方向导数与梯度。
 
(6)会求二元函数的泰勒展式及无条件极值。
 
第18章隐函数定理及其应用
 
(1)掌握由一个方程确定的隐函数的条件,隐函数性质,隐函数的导数(偏导)公式。
 
(2)掌握由m个方程n个变元组成方程组,确定n-m个隐函数组的条件,并会求这n-m个隐函数对各个变元的偏导数。
 
(3)会求空间曲线的切线与法平面。
 
(4)会求空间曲面的切平面与法线。
 
(5)掌握条件极值的拉格朗日数乘法。
 
第19章向量函数微分(一般了解)
 
第13-19章重点、难点
 
(1)重点:函数列、函数项级数一致收敛的判别,求幂级数的收敛域,和函数及其性质,幂级数展式,多元函数极限,连续、偏导、可微概念。计算部分:求各类偏导,全微分,求方向导数与梯度,求方程(组)确定隐函数(组)的偏导。应用部分;无条件极值,条件极值,曲线的切线与法平向,曲面的切平面与法线。
 
(2)难点:函数列与函数项级数一致收敛判别及性质,条件极值。
 
第20章重积分
 
(1)了解二重积分,三重积分定义与性质。
 
(2)掌握二重积分的换序,变量代换的方法。
 
(3)了解三重积分的换序,会用球、柱、广义球坐标进行代换计算三重积分。
 
(4)含参量正常积分的定义及性质。
 
(5)重积分应用:求曲面面积,转动惯量,重心坐标等。
 
第21章含参量非正常积分
 
(1)掌握含参量非正常积分一致收敛定义、性质。
 
(2)掌握含参量非正常积分一致收敛判别。
 
(3)会用积分号下求导、积分号下做积分方法计算一些定积分或广义积分。
 
(4)了解欧拉积分,递推公式及性质。
 
第22章曲线积分与曲面积分
 
(1)熟练掌握第一、二型曲线、曲面积分的计算方法。
 
(2)了解两种曲线积分,两种曲面积分关系。
 
(3)熟练运用格林公式,高斯公式,斯托克斯公式计算。
 
(4)掌握积分与路径无关的条件。
 
(5)了解场论初步知识,并会求梯度,散度,旋度。
 
第20-22章的重点和难点
 
(1)重点:二重积分换序,计算方法;曲线,曲面积分的计算。格林公式,高斯公式,斯托克斯公式的应用,积分与路径无关性质的应用。
 
(2)难点:含参量广义积分的一致收敛判别,三重积分的换序,重积分的应用。
 
参考教材或主要参考书
 
《数学分析(上、下)》,陈传璋等编著(第四版),高等教育出版社,2018
 
原文标题:宁波大学2021年硕士研究生自命题科目考试大纲及参考书目

原文链接:http://graduate.nbu.edu.cn/2019/zs-content.jsp?urltype=news.NewsContentUrl&wbtreeid=1081&wbnewsid=15453


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